BLOQUE II

CONCEPTO.

La probabilidad se encarga de evaluar todas aquellas actividades en donde se tiene incertidumbre acerca de los resultados que se pueden esperar, esto quiere decir que la probabilidad  está presente en casi en todas las actividades que se pretenda realizar, ejemplos:

-Cualquier proyecto de Ingeniería o de otras áreas

-Competencias deportivas

-Juegos de azar, etc., etc.

 ¿Cómo podemos calcular probabilidades?

1. Haciendo uso de las estadísticas.

En este caso, se hace uso de la información que se ha acumulado acerca del evento que nos interesa, y después de esto se procede a calcular las probabilidades requeridas.

A continuación se definen algunas cuestiones implícitas en el cálculo de probabilidades.

a) Espacio muestral (d).- Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento. Es nuestro Universo.

Ejemplos:

1. Se lanza al aire un dado normal (perfectamente equilibrado), enumere los posibles resultados de este experimento.

                                                      d= {1, 2, 3, 4, 5, 6 }

2. Se lanza al aire dos veces una moneda normal, defina su espacio muestral.

                                          d = {AA, AS, SA, SS}

b) Evento A.- El evento A es un subconjunto del espacio muestral.

Ejemplos:

1. Sea A el evento de que aparezca un número par en el lanzamiento de un dado, entonces;

                                                           A = {2,4,6}

2. Sea B el evento de que aparezcan dos águilas en tres lanzamientos de una moneda normal, entonces;

                                   Como d = {AAA, AAS, SAA, ASA, ASS, SAS, SSA, SSS}

 Luego B = {AAS, SAA, ASA}

a)      Sea f un evento que carece de elementos.

f = {               }

Como se observa los experimentos y eventos probabilísticos se pueden expresar con la notación  de conjuntos y a continuación se enumeran algunas operaciones que es posible realizar con los eventos.

      1) AÈB Es el evento que ocurre si y solo sí A ocurre o B ocurre o ambos ocurren.

+

+

AÈB =

A

B

+

AÈB =

2) AÇB Es el evento que ocurre sí y solo sí A  y B ocurren a un mismo tiempo.

3) A^c  Es el complemento de A. Es el evento que ocurre sí y solo sí A no ocurre.

1)      Se dice que A y B son eventos mutuamente excluyentes  o exclusivos si AÇB = f

Ejemplo:

En un salón de clase hay 15 alumnos, 7 de los cuáles son de tercer semestre, 5 son de cuarto semestre y 3 son de quinto semestre de la carrera de Ingeniería Química, de los cuales 4, 2 y 1 respectivamente dominan el Inglés, si se selecciona un alumno al azar de este grupo, a. ¿cuál es la probabilidad de que el alumno seleccionado sea de quinto semestre?, b. ¿cuál es la probabilidad de que sea de tercero o cuarto semestre?, c. ¿cuál es la probabilidad de que el alumno seleccionado sea de tercer semestre y domine el inglés?, d. ¿cuál es la probabilidad de que el alumno seleccionado no domine el inglés?, e. Diga si los eventos T y Q son mutuamente excluyentes, diga si los eventos Q e I son mutuamente excluyentes?

Solución:

Empezaremos por definir algunos eventos;

T = evento de que un alumno sea de tercer semestre

Cu = evento de que un alumno sea de cuarto semestre

Q = evento de que un alumno sea de quinto semestre

       I = evento de que un alumno domine el inglés

a.       p(alumno seleccionado sea de quinto semestre) = p(Q) = 3/15 = 0.2

b.      p(alumno seleccionado sea de tercero o cuarto semestre)= p(T ÈCu) =

= p( T) + p(Cu) = 7/15 + 5/15 = 12/15 = 0.8

c.       p(alumno sea de tercer semestre y domine el inglés) = p(T Ç I) = 4/15 = 0.26667

d.      p(alumno seleccionado no domine el inglés) = p(I^c ) = 8/15 = 0.53333

e.       Los eventos T y Q son mutuamente excluyentes dado que TÇQ = f

Los eventos Q e I no son eventos mutuamente excluyentes, ya que QÇI= {1}

Ya que hay un alumno que cumple con ambos eventos, es de quinto semestre y domina el inglés.

 TEOREMA DE LA MULTIPLICACIÓN PARA PROBABILIDAD CONDICIONAL.

Tomando como referencia la fórmula de probabilidad condicional,

                                            

                                                     

despejando,

 p(AÇE) = p(E)p(A½E)   Teorema  de la multiplicación para probabilidad condicional

donde:

p(AÇE) = probabilidad de que ocurran A y E

p(E) = probabilidad de que ocurra E

p(A½E) = probabilidad de que ocurra el evento A dado que el evento E ya ocurrió

Ejemplos:

1. En un lote de producción hay 25 productos, 5 de los cuales tienen defectos menores y 9 tienen defectos mayores, si se toman de este lote tres productos uno tras otro, determine la probabilidad de que: a. El primer producto no tenga defectos y que el segundo y tercero tengan defectos mayores, b. El primer producto tenga defectos menores, el segundo tenga defectos mayores y que el tercero no tenga defectos, c. El primer producto y el tercero no tengan defectos.

Solución:

a.       Definiremos algunos eventos;

B₁ = evento de que el primer producto seleccionado no tenga defectos

DM₂ = evento de que el segundo producto seleccionado tenga defectos mayores

DM₃ = evento de que el tercer producto seleccionado tenga defectos mayores

p(B₁ÇDM₂ÇDM₃) = p(B₁)p(DM₂½B₁)p(DM₃½B₁ÇDM₂)

                                          =(11/25)*(9/24)*(8/23)

                                         = 0.44*0.375*0.347826

                                         = 0.05739

b.      Dm₁= evento de que el primer producto seleccionado tenga defectos menores

DM₂ = evento de que el segundo producto seleccionado tenga defectos mayores

B₃ = evento de que el tercer producto seleccionado no tenga defectos

P(Dm₁ÇDM₂ÇB₃) = p(Dm₁)p(DM₂½Dm₁)p(B₃½Dm₁ÇDM₂)

        = (5/25)*(9/24)*(11/23)=

  = 0.2*0.375*0.4782608= 0.03587

c.       B₁ = evento de que el primer producto seleccionado no tenga defectos

B₂ = evento de que el segundo producto seleccionado no tenga defectos

Dm₂ = evento de que el segundo producto seleccionado tenga defectos menores

DM₂ = evento de que el segundo producto seleccionado tenga defectos mayores

B₃ = evento de que el tercer producto seleccionado no tenga defectos

En este caso como no se especifica de que tipo debe ser el segundo producto, se considera que este puede ser no defectuoso, con defectos menores o con defectos mayores; por lo tanto;

p(B₁ÇB₂ÇB₃) + p(B₁ÇDm₂ÇB₃) + p(B₁ÇDM₂ÇB₃)

= p(B₁)p(B₂½B₁)p(B₃½B₁ÇB₂) + P(B₁)p(Dm₂½B₁)p(B₃½B₁ÇDm₂) + p(B₁)p(DM₂½B₁)p(B₃½B₁ÇDM₂)

                         =(11/25)*(10/24)*(9/23) + (11/25)*(5/24)*(10/23) + (11/25)*(9/24)*(10/23)

                  =(0.44)(0.41666)(0.39130) + (0.44)(0.20833)(0.43478) + (0.44)(0.375)(0.43478)

 = 0.07173 + 0.03985 + 0.07174

= 0.18332

PROBABILIDAD CONDICIONAL

Sea d un espacio muestral en donde se ha definido un evento E, donde p(E)>0, si deseamos determinar la probabilidad de que ocurra un evento A (el que también es definido en el mismo espacio muestral), dado que E ya ocurrió, entonces deseamos determinar una probabilidad de tipo condicional, la que se determina como se muestra;

d

 

Donde:

p(A½E) = probabilidad de que ocurra A dado que E ya ocurrió

p(AÇE) = probabilidad de que ocurra A y E a un mismo tiempo

p(E) = probabilidad de que ocurra E

Luego;

 

Por tanto:

 

Donde:

½AÇE½= número de elementos comunes a los eventos A y E

½E½= número de elementos del evento E

Luego entonces podemos usar cualquiera de las dos fórmulas para calcular la probabilidad condicional de A dado que E ya ocurrió.

6.- La probabilidad de que un auto de carreras cargue gasolina en cierto circuito en la primera media hora de recorrido es de 0.58, la probabilidad de que cambie de neumáticos en esa primera media hora de recorrido es de 0.16, la probabilidad de que cargue gasolina y cambie de neumáticos en la primera media hora de recorrido es de 0.05, a. ¿Cuál es la probabilidad de que cargue gasolina o cambie de neumáticos en la primera media hora de recorrido?, b. ¿cuál es la probabilidad de que no cargue combustible y de neumáticos en la primera media hora de recorrido,  c. Si el auto cambia de neumáticos en la primera media hora de recorrido, ¿cuál es la probabilidad de que cargue combustible también?, d. Si el auto carga combustible en la primera media hora de recorrido, ¿cuál es la probabilidad de que cambie de neumáticos también?

Solución:

a.       A = evento de que cargue gasolina en la primera media hora de recorrido

P(A) = 0.58

B = evento de que cambie de neumáticos en la primera hora de recorrido

P(B) = 0.16

AÇB = evento de que cargue combustible y cambie de neumáticos en la primera hora de recorrido

P(AÇB) = 0.05

P(cargue gasolina o cambie de neumáticos) = p(AÈB) = p(A) + p(B) – p(AÇB) = 0.58 + 0.16 – 0.05 = 0.69

b.      p( no cargue combustible y no cambie de neumáticos) = 1 – p(AÈB) = 1 – 0.69 = 0.31

c.       E = evento de que el auto cambie de neumáticos en la primera media hora de recorrido

A = evento de que el auto cargue combustible en la primera media hora de recorrido

p(A½E) = p(AÇE)/ p(E) = 0.05/0.16 = 0.3125

d.      E = evento de que el auto cargue combustible en la primera media hora de recorrido

A = es el evento de que el auto cambie de neumáticos en la primera media hora de recorrido

p(A½E) = p(AÇE)/p(E) = 0.05/0.58 = 0.08621

TEOREMA DE BAYES

Sea d un espacio muestral que está formado por los eventos A₁, A₂, A₃,.....,A_n mutuamente excluyentes, luego,

            d = A₁ÈA₂ÈA₃È.....ÈA_n

Luego si ocurre un evento B  definido en d, observamos que;

                          B = dÇB = (A₁ÈA₂ÈA₃È.....ÈA_n)ÇB = (A₁ÇB)È(A₂ÇB)È(A₃ÇB)È.....È(A_nÇB)

Donde cada uno de los eventos A_iÇB son eventos mutuamente excluyentes, por lo que

                        p(B) = p(A₁ÇB) + p(A₂ÇB) + p(A₃ÇB) +......+ p(A_nÇB)

y como la p(A_iÇB) = p(A_i)p(B½A_i) ,  o sea que la probabilidad de que ocurra el evento Ai y el evento B es igual al teorema de la multiplicación para probabilidad condicional, luego;

                      p(B) = p(A₁)p(B½A₁) + p(A₂)p(B½A₂) + p(A₃)p(B½A₃) + p(A_n)p(B½A_n)

Si deseamos calcular la probabilidad de que ocurra un evento A_i dado que B ya ocurrió, entonces;

                     

La expresión anterior es el teorema de Bayes, que como se observa es una simple probabilidad condicional.

2.      Una empresa recibe visitantes en sus instalaciones y los hospeda en cualquiera de tres hoteles de la ciudad; Palacio del Sol, Sicomoros o Fiesta Inn, en una proporción de 18.5%, 32% y 49.5% respectivamente, de los cuales se ha tenido información de que se les ha dado un mal servicio en un 2.8%, 1% y 4% respectivamente, a. Si se selecciona a un visitante al azar ¿cuál es la probabilidad de que no se le haya dado un mal servicio?,b. Si se selecciona a un visitante al azar y se encuentra que el no se quejó del servicio prestado, ¿cuál es la probabilidad de que se haya hospedado en el Palacio del Sol?, c. Si el visitante seleccionado se quejó del servicio prestado, ¿cuál es la probabilidad de que se haya hospedado en e hotel Fiesta Inn?

3.      Solución: Haciendo uso de un diagrama de árbol;

                                                                       2.8%   Q

                        18.5%             PS

                                                                       97.2% NQ

                                                                       1.0%   Q

                                                                                 

                        32%               S                                                                                

                                                              99.0%   NQ

                                                                

                                                                              4.0% Q

                  49.5%             FI

                                                                   96.0%    NQ

                                                                                 

a.       NQ = evento de que un visitante no se queje del servicio

      PS = evento de que un visitante haya sido hospedado en el hotel Palacio del Sol

       S = evento de que un visitante haya sido hospedado en el hotel Sicómoro

      FI = evento de que un visitante haya sido hospedado en el hotel Fiesta Inn

                P(NQ) = p(PS)p(NQ½PS) + p(S)p(NQ½S) + p(FI)p(NQ½FI) =

                            = 0.185*0.972 + 0.32*0.99 + 0.495*0.96

                            = 0.17982 + 0.3168 + 0.4752

                            = 0.97182

b.      NQ = evento de que un visitante no se queje del servicio

      PS = evento de que un visitante haya sido hospedado en el hotel Palacio del Sol

       S = evento de que un visitante haya sido hospedado en el hotel Sicomoro

      FI = evento de que un visitante haya sido hospedado en el hotel Fiesta Inn

                       P(PS½NQ)=p(PSÇNQ)/p(NQ)

                                         =(0.185*0.972)/(0.185*0.972+0.32*0.99+0.495*0.96)= 

                                         = 0.17982/(0.17982 + 0.3168 + 0.4752)

                                         = 0.17982/0.97182

                                         = 0.1850342

c.       Q = evento de que un visitante se queje del servicio

FI = evento de que un visitante haya sido hospedado en el hotel Fiesta Inn

                      P(FI½Q) = p(FIÇQ)/p(Q)

                                      = 0.495*0.04/(0.185*0.028 + 0.32*0.01 + 0.495*0.04)

                                      =0.0198/( 0.00518 + 0.0032 + 0.0198)

                                      = 0.0198/0.02818

                                      = 0.7026