DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
Las características de
esta distribución son:
a) En los experimentos que tienen este tipo de distribución, siempre se
esperan dos tipos de resultados, ejem. Defectuoso, no defectuoso, pasa, no
pasa, etc, etc., denominados arbitrariamente “éxito” (que es lo que se espera
que ocurra) o “fracaso” (lo contrario del éxito).
b) Las probabilidades asociadas a cada uno de estos resultados son
constantes, es decir no cambian.
c) Cada uno de los ensayos o repeticiones del experimento son
independientes entre sí.
d) El número de ensayos o repeticiones del experimento (n) es constante.
Las características de esta distribución
son:
a) En los experimentos que tienen este tipo de distribución, siempre se
esperan dos tipos de resultados, ejem. Defectuoso, no defectuoso, pasa, no
pasa, etc, etc., denominados arbitrariamente “éxito” (que es lo que se espera
que ocurra) o “fracaso” (lo contrario del éxito).
b) Las probabilidades asociadas a cada uno de estos resultados son
constantes, es decir no cambian.
c) Cada uno de los ensayos o repeticiones del experimento son
independientes entre sí.
d) El número de ensayos o repeticiones del experimento (n) es constante.
A
partir de un ejemplo. Desarrollaremos una fórmula que nos permita cualquier
problema que tenga este tipo de distribución.
Ejemplo:
Se lanza al aire una moneda normal 3
veces, determine la probabilidad de que aparezcan 2 águilas.
Solución:
Antes de empezar a resolver este
problema, lo primero que hay que hacer es identificarlo como un problema que
tiene una distribución binomial, y podemos decir que efectivamente así es, ya
que se trata de un experimento en donde solo se pueden esperar dos tipos de
resultados al lanzar la moneda, águila o sello, cutas probabilidades de
ocurrencia son constantes, cada uno de los lanzamientos es independiente de los
demás y el número de ensayos o repeticiones del experimento son constantes, n =
3.
Para dar solución a este problema, lo
primero que hay que hacer es un diagrama de árbol, en donde representaremos los
tres lanzamientos, de ahí se obtendrá el espacio muestral y posteriormente la
probabilidad pedida, usando la fórmula correspondiente.
A = águila, S
=
sello
1/2 S
1/2 S
d={AAA, AAS, ASA, ASS, SAA,
SAS, SSA, SSS}
Para obtener la fórmula, definiremos lo siguiente:
n = número de lanzamientos de moneda
x = número de “éxitos” requeridos = número de águilas = 2
p = probabilidad de “éxito”= p(aparezca águila) =1/2
q = probabilidad de “fracaso”= p(aparezca sello) =1/2
Entonces podemos partir de la siguiente expresión para desarrollar la
fórmula;
P(aparezcan 2 águilas)=(No. De ramas del árbol en donde ap. 2
águilas)(probabilidad asociada a cada rama)
Entonces el número de ramas en donde aparecen dos águilas se puede
obtener;
Enumerando las ramas de interés, estas serían: AAS, ASA, SAA, ¿QUÉ
TIPO DE ARREGLOS SON ESTOS ELEMENTOS DEL ESPACIO MUESTRAL?, Son permutaciones
en donde algunos objetos son iguales, entonces, el número de ramas se puede
obtener con la fórmula correspondiente,
donde n = x1+x2+...+xk
sustituyendo en esta fórmula, tenemos lo siguiente;
esta fórmula puede ser sustituida por la de combinaciones, solo en el
caso de dos tipos de objetos, si hay más de dos tipos de objetos,
definitivamente solo se usa la fórmula original, como se observará en el caso
de la distribución multinomial, pero ¿porqué vamos a cambiar de fórmula?,
simplemente porque en todos los libros de texto que te encuentres vas a
encontrar la fórmula de combinaciones en lugar de la de permutaciones, que es
la siguiente,
y sustituyendo valores, nos damos cuenta de que efectivamente son 3
las ramas de interés, que son donde aparecen dos águilas, donde n = 3, x = 2.
¿Y la probabilidad asociada a cada rama?
Probabilidad asociada a cada rama = p(águila)*p(águila)*p(sello)=
p*p*q = p2q=
=
Luego la fórmula de la distribución Binomial sería:
donde:
p(x, n, p) = probabilidad de obtener en n ensayos x éxitos, cuando la probabilidad de
éxito es p
Dando solución al problema de ejemplo tenemos lo siguiente:
n = 3, x = 2, p = ½
Para calcular la media y la desviación estándar de un experimento que
tenga una distribución
Binomial usaremos las siguientes fórmulas:
Media o valor esperado.
Donde:
n = número de ensayos o repeticiones del experimento
P = probabilidad de éxito o la probabilidad referente al evento del
cual se desea calcular la media que se refiere la media
Q = complemento de
P
Desviación estándar.
Ejemplos:
- Se dice que el 75% de los accidentes de una planta se atribuyen a
errores humanos. Si en un período de tiempo dado, se suscitan 5
accidentes, determine la probabilidad de que; a) dos de los accidentes se
atribuyan a errores humanos, b) como máximo 1 de los accidentes se
atribuya a errores de tipo humano, c) tres de los accidentes no se atribuyan a errores humanos.
Solución:
a) n = 5
x = variable que nos define el número de
accidentes debidos a errores humanos
x = 0, 1, 2,...,5 accidentes debidos a
errores de tipo humano
p = p(éxito) = p(un accidente se deba a
errores humanos) = 0.75
q = p(fracaso) = p(un accidente no se
deba a errores humanos) = 1-p = 0.25
b)
DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA.
Los
experimentos que tienen este tipo de distribución tienen las siguientes
características:
a) Al realizar un experimento con este tipo de
distribución, se esperan dos tipos de resultados.
b) Las probabilidades asociadas a cada uno de los
resultados no son constantes.
c) Cada ensayo o repetición del experimento no es
independiente de los demás.
d) El número de repeticiones del experimento (n)
es constante.
Ejemplo:
En una
urna o recipiente hay un total de N objetos, entre los cuales hay una cantidad a de
objetos que son defectuosos, si se seleccionan de esta urna n objetos al azar, y sin reemplazo,
¿cuál es la probabilidad de obtenerx objetos
defectuosos?
Solución:
Luego;
donde:
p(x,n)
= probabilidad de obtener x objetos defectuosos de entre n seleccionados
Considerando
que en la urna hay un total de 10 objetos, 3 de los cuales son defectuosos, si
de seleccionan 4 objetos al azar, ¿cuál es la probabilidad de que 2 sean
defectuosos?
Solución:
N = 10
objetos en total
a = 3
objetos defectuosos
n = 4
objetos seleccionados en muestra
x = 2
objetos defectuosos deseados en la muestra
donde:
Como se observa en el desarrollo de la
solución del problema, la pretensión es demostrar que las probabilidades
asociadas a cada uno de los resultados no son constantes.
Luego la probabilidad de obtener 2
objetos defectuosos entre los 4 seleccionados al azar sería:
Ejemplos:
- Para evitar que lo descubran en la aduana, un viajero ha colocado
6 tabletas de
narcótico en una botella que contiene 9 píldoras de vitamina que son
similares en apariencia. Si el oficial de la aduana selecciona 3 tabletas
aleatoriamente para analizarlas, a) ¿Cuál es la probabilidad de que el
viajero sea arrestado por posesión de narcóticos?, b) ¿Cuál es la
probabilidad de que no sea arrestado por posesión de narcóticos?.
Solución:
a) N = 9+6 =15 total de tabletas
a = 6 tabletas de narcótico
n = 3 tabletas seleccionadas
x = 0, 1, 2, o 3 tabletas de narcótico =
variable que nos indica el número de tabletas de narcótico que se puede
encontrar al seleccionar las 3 tabletas
p(viajero sea arrestado por posesión de
narcóticos) = p(de que entre las 3 tabletas seleccionadas haya 1 o más tabletas
de narcótico)
otra forma de resolver;
p(el viajero sea arrestado por posesión
de narcóticos) = 1 – p(de que entre las tabletas seleccionadas no haya una sola de
narcótico)
b) p(no sea arrestado por posesión de narcóticos)
